Le système numérique : des relations entre les nombres du CP au CM

 Comprendre les relations entre les nombres

Cet article cherche à analyser les difficultés que peuvent rencontrer les enfants lors de leur approche du nombre à l’école.

Des maquettes de jeux numériques vous sont proposées pour aider les élèves à construire des relations entre les nombres.

La compréhension de la suite numérique

Une référence très présente : l’ordre

Quand les enfants ont du mal à se situer dans la suite numérique, c’est souvent parce qu’ils ont construit les nombres sur l’idée qu’ils sont ordonnés chronologiquement.

Ils ont mémorisé cette suite dans l’ordre, parce qu’on a cherché à leur présenter les nombres sous une forme ordonnée systématique: 1,2,3,4 etc… Ils dénombrent, ils disent les mots nombres les uns derrière les autres.
Le cardinal du nombre, la conservation du nombre ne sont pas vraiment construits.

Les enfants n’ont pas construit l’idée que le nombre parle de l’appartenance à un système numérique qui met tous les nombres en lien les uns avec les autres et de façons différentes.
Quand un enfant construit le nombre 6 avec l‘idée que c’est
– 3 et encore 3 ou bien 4 et encore 2 mais aussi 1 et encore 1 et encore 1 et encore 2 et encore 1,
– que c’est aussi plus que 3, 2,ou 4 et que c’est aussi moins que 9 ou 7
– et que ça peut aussi être 3 fois 2 ou 12 qu’on a coupé en 2…,
il possède une construction du nombre qui favorise ensuite l’idée que l’écriture numérique traduit un système numérique complexe.

Une variabilité de références à prendre en compte

Cet enfant prend plus facilement conscience que ce qui est dit traduit cette complexité et que cette complexité varie: dix-huit c’est dix et encore huit mais pour dire dix et encore trois on dit treize dans lequel on devine qu’il peut y avoir peut-être de trois mais pas forcément dix. Et que donc tous les nombres de 11 à 19 ne sont pas construits de la même façon quand on les parle alors qu’il y a une même logique quand on les écrit.
Ils vont aussi plus facilement rentrer dans l’idée que la dizaine prend en compte parfois d’autres références que dix : quatre-vingt, ou que le dix n’est pas toujours situé de la même façon : soixante, soixante –dix.
Il y a donc des difficultés pour les enfants qui ont juxtaposé les nombres, qui ont appris que les choses sont toujours identifiées par un ordre. Ils ne savent pas chercher ou prendre en compte d’autres références qui de plus ne sont pas toujours conçues de la même façon.
L’écriture de la numération de position suppose de maitriser une complexité par rapport à des références langagière qui varient.

Un point de vue qui situe une valeur

Elle suppose aussi de prendre en compte un déplacement du point de vue quand le nombre de dix éléments devient tout à coup un élément qui devient différent des autres par son importance et qu’il organise la logique des nombres qui vont le suivre. Il s’agit cette fois de lui accorder une valeur qui n’est plus reliée à la quantité qu’il exprime mais à la façon dont il exprime dans d’autres nombres une référence d’une autre dimension. Et c’est bien ce qui se traduit dans l’écriture. Ce chiffre qui peut dire 1 mais aussi bien 10 ou 100 !
Cette nécessité de la variabilité des liens et des références entre les nombres va déstabiliser les enfants qui ont pris l’habitude de se référer à une mémorisation dans l’ordre.

Des jeux qui vont faire varier les références

On peut aider ces enfants à construire l’idée d’une variabilité entre les références à prendre en compte en leur proposant des « jeux » numériques sur lesquels ils peuvent agir parce qu’ils n’ont pas à construire ces références .Elles leur sont proposées et ils ont à réaliser des choix. Ils peuvent donc essayer, déplacer les cartes réponses et prendre le temps de la réflexion.
Les enfants qui ont pris l’habitude de la complexité du système numérique peuvent opérer des mises en relation qui leur permet de réaliser ce que l’on appelle le calcul mental. Les enfants qui n’ont pas construit cette variabilité de références et de mise en lien, ont besoin de partir de propositions de références construites, qu’ils ne possèdent pas déjà et qu’on leur propose. Ils ont aussi besoin de les manipuler concrètement pour pouvoir opérer par l’action un placement qui traduit la mise en relation .Ils peuvent changer d’avis et réaliser une autre mise en relation, soit en plaçant ailleurs cette même carte, soit en prenant une autre carte.
Cette variabilité de références peut être construite de façon ciblée en fonction des mises en correspondance proposées. Ces supports peuvent être utilisés suivant les enfants à tous les niveaux de l’école élémentaire pour être discutés, transformés, utilisés comme tel suivant le développement de la pense de chaque élève .
Vous trouverez ci-dessous des supports qui vont proposer cette construction du nombre sur des références et une variabilité différente à chaque fois.
L’enfant va donc petit à petit pendre conscience de ces possibilités et il pourra alors envisager les nombres comme étant à la fois stables au niveau du cardinal du nombre qui se conserve à l’identique mais aussi variables en fonction des références qui sont prises en compte.

exemples de lotos  et sudokus numériques

Les lotos additifs:

Ce jeu numérique comporte 2 feuilles avec des cases, sur lesquelles on doit poser des cartes ; une mise en correspondance est à réaliser entre la carte posée et ce qui est indiqué dans les cases de la feuille support. Cette correspondance varie suivant les références prises en compte.
Les lotos sont constitués de deux feuilles représentent une feuille support en entier et une autre feuille que l’on découpe en morceaux de connaissances, en cartes, qui sont posées sur les cases de la première feuille.
La première feuille peut servir de support mais elle peut aussi être découpée en cartes. C’est la deuxième feuille qui servira alors de support. Avec ces deux feuilles, il y a donc possibilité de faire des lotos différents.

Cela donne lieu à deux propositions :
– un loto décomposition des nombres : on pose les cartes des suites numériques sur la feuille sur laquelle figurent les nombres.
– un loto numérique : on pose les cartes nombres sur les cases de la feuille suites numériques.

Des maquettes qui font varier les décompositions numériques

Chaque proposition comporte deux supports qui sont à mettre en correspondance. Il est conseillé de les éditer au moins deux fois pour pouvoir utiliser le support soit en tant que cartes à découper, soit en tant que cases à compléter.

 

Toutes ces données peuvent être modifiées :

par l’enseignant, par les élèves !

les nombres, les décompositions des suites numériques suivant les unités de référence choisies : unité, dizaine, centaine, mille , la place des chiffres et leur ordre, suivant les objectifs d’accès priorisés.

L’idée est aussi de redonner son sens au signe =  qui indique bien que deux choses sont comparée et estimées comme ayant une valeur égale et non pas comme indiquant un résultat qui se situerait dans l’ordre…derrière, à la fin.

Des maquettes qui font varier les opérations de référence

Ces supports font varier les opérations de décomposition autour d’un même nombre.

Exprimer l’enjeu d’apprentissage :

Il semble important de parler avec les élèves sur ces jeux pour leur faire exprimer à quels apprentissages ils peuvent correspondre : les connaissances dont ils ont besoin, les mises en liens qu’ils peuvent faire. Cela permettra de les écouter expliciter comment ils ont trouvé, soit en les écoutant quand ils jouent à deux, soit en leur demandant de justifier individuellement le placement de leurs cartes quand ils ont terminé une feuille support. Il n’y a pas de gagnant ou de perdant !

L’objectif n’est pas le jeu mais les apprentissages. …
– Cela peut se « jouer » en groupe. Si la feuille nombre est la feuille support, les cartes suites numériques sont posées empilées non visibles en tas sur la table. Chacun à son tour prend une carte dans le tas, la retourne et la place sur une des cases de la feuille nombre.
– Cela peut se « jouer » à deux. Chacun à son tour prend une carte et la place. Il peut aussi y avoir un des joueurs qui place les cartes et l’autre qui valide, ou non. Ensuite chacun change de rôle.
– Ces feuilles peuvent aussi devenir des grilles à remplir individuellement, à deux, en fonction des données de l’autre feuille, distribuée en même temps.

Ces supports  peuvent aussi devenir des grilles à inventer pour d’autres. Dans ce cas l’élève ne prend qu’une feuille et remplit les cases vides avec les données de son choix , en respectant des catégories de référence exprimées : quelle unité de référence, quel type de décomposition numérique ?

Ces maquettes n’ont pas vocation à remplacer les situations d’apprentissages concrètes telles que Le Marché ou les situations de recherche ou de création mais de compléter la réflexion possible. Elles peuvent servir pour aider l’enseignant à cibler les obstacles cognitifs rencontrés par les élèves et permettre d’engager le débat.

Il n’est pas souhaitable d’utiliser ces cartes en maternelle. La maternelle doit rester le temps et le lieu du concret et de la parole. Des situations d’ajout , de retrait, de partage peuvent être réalisées avec des objets dans des situations de sens. Les supports écrits présentés ici seront présents quand les nombres auront pris sens  et cela ne se réalise qu’à partir du CP quand l’écriture des chiffres est reliée à celle du système numérique. Le développement de la pensée de l’enfant lui permet alors de comprendre ces manipulations qui utilisent des supports concrets mais qui parlent de relations abstraites.

La pédagogie Freinet se construit dans l’échange de points de vue , par la parole, dans l’échange et la coopération avec une visée émancipatrice basée sur de l’explicite .
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