Le Périmètre : de la GS au CM

Une notion complexe : le Périmètre

Cet article cherche à vous présenter la complexité d’une notion qui peur sembler simple à un adulte : le périmètre…. Plusieurs notions sont présentées et mises en lien : le tour, la forme, les figures, la longueur, la mesure. La place du calcul est située ainsi que l’impact du « numérique ».

Des situations sont proposées en lien avec le développement de la pensée des enfants.

Des discours d’élèves donnent à voir comment les élèves peuvent aborder et comprendre différemment cette notion.

Une « définition ? »

Péri- mètre vient du grec Péri : autour de…, et Mètre =  mesure. Le périmètre est donc la mesure d’un tour.

Il est donc question de mesure, ce qui demandera des précisions. Il est aussi question de faire le tour de quelque chose qui reste à définir. Pour aborder cette notion de périmètre, le plus souvent à l’école on présente des figures particulières que l’on estime accessibles aux élèves : carré, rectangle, triangle. On fait mesurer la longueur de chacun des côtés de la figure. On réalise ensuite une opération d’addition des nombres trouvés lors de la mesure des côtés.

Cela semble simple, clair et accessible pour l’adulte qui  a construit tous les paramètres qui organisent les notions de périmètre et de mesure. Ce n’est pas toujours  le cas pour les élèves de l’école élémentaire.

Des notions essentielles combinées

Faire le tour de…

Cela est accessible concrètement. On peut faire le tour d’une pièce, d’une feuille. Cela se vit et construit un rapport à l’espace. Mais cela ne signifie pas toujours la prise de conscience que ce tour est une limite ; une frontière ; que l’espace est séparé en deux : celui qui est à l’intérieur du tour et celui qui est à l’extérieur. Le tour n’est pas forcément relié à ces deux espaces. Il reste souvent une promenade, un chemin. Il n’est pas nécessairement relié à une généralité qui définit ce que signifie le périmètre : la longueur du pourtour d’une forme définie, la longueur d’une ligne qui commence et finit au même point.

On voit donc que ce tour ne suffit pas à comprendre la notion de périmètre. Il faut le relier à ce qui relève de la forme, de la longueur et à ce qui en découle : la mesure.

La forme : les figures.

Chez l’adulte la forme est un terme général  qui situe la particularité d’un espace limité et la figure est une catégorie qui renvoie  aux  propriétés des figures. Cela n’est pas le cas chez l’enfant. Il peut situer le périmètre et la mesure en fonction d’une forme ou d’une figure particulière et ne pas construire la généralisation que suppose le périmètre : le tour de toutes les  figures, quelles que soient leurs formes.

La figure, chez les enfants, est  située dans la perception d’une forme particulière .La figure n’est pas forcément comprise comme un élément qui est organisé et délimité dans l’espace et dans le plan. Elle reste souvent reliée chez l’enfant  à la perception d’une forme qui est un Tout, un élément distinct. L’enfant distingue un élément particulier qui pour lui relève d’une réalité extérieure, qu’il  perçoit mais à laquelle il n’accorde pas vraiment de sens autre que celui d’un objet.

Une des manières de faire réaliser à un enfant un lien entre un objet et une figure géométrique, c’est de le mettre en situation de laisser la trace de l’empreinte que laisse la base d’un solide. Poser un pavé dans de la peinture et découvrir que ce pavé peut laisser la forme d’un carré ou celle d’un rectangle, suivant la base qui est peinte, est une découverte qui donne sens à la notion de figure. Les figures sont alors distinguées différemment, comme des « productions » , et non comme des objets. La notion de carré ou de rectangle devient une conséquence, une « propriété » du pavé. Cela permet de lui accorder un autre statut. Ce n’est plus seulement un élément  qui existe par lui-même mais une forme dont on peut faire varier les paramètres d’existence.

Quand l’enfant   « apprend » à l’école, parce qu’on le lui dit ou qu’on le lui montre,  que le carré a 4 cotés, il en reste souvent à la perception d’une forme particulière et il peut avoir des difficultés à entrer dans  la compréhension de la généralisation des propriétés d’un carré. Il distingue souvent le carré par opposition au rectangle. Il a du mal parfois à comprendre qu’un carré est composé de deux triangles ;  c’est-à-dire qu’une figure n’est pas un Tout qui reste toujours identique mais qu’il peut être composé d’éléments différents qui sont eux aussi des figures. Et certains enfants ont  beaucoup de mal à « emboiter » les formes pour dire que le carré est un quadrilatère et que donc il peut être considéré comme  une forme et catégorie particulière du rectangle.

L’enfant doit avoir pris conscience qu’une figure est une forme particulière, qui se définit par des propriétés : le nombre de ses côtés, leur longueur, pour qu’il puisse trouver la longueur du périmètre d’une figure en fonction de ses propriétés.

La longueur

Ce mot de longueur peut être difficile à comprendre parce qu’il possède plusieurs significations : la longueur d’un objet parle de sa dimension horizontale. La longueur d’un cheveu parle de la dimension qui se situe entre ses deux extrémités. La longueur du rectangle situe les côté les plus longs, par opposition à la largeur. On passe donc d’une dimension générale dans l’espace à celle d’une dimension limitée par deux extrémités puis à celle d’une propriété particulière d’une figure.

L’enfant relie le plus souvent la longueur à ce qui est plus ou moins long, c’est-à-dire plus ou moins loin par rapport à une origine, un départ fixé à partir d’un point. Il associe la longueur à une distance mais pas forcément à une mesure. Il oppose long et court, associe long à loin car sa perception de l’espace n’est pas reliée au besoin de précision, de contrôle, de mesure. La longueur mesurée va prendre une dimension particulière, reliée au numérique.

La mesure.

Les choses se compliquent pour l’enfant. La notion de mesure suppose d’avoir compris qu’il y a une unité de mesure et qu’elle est prise en référence pour déterminer une quantité numérique : 5, qui renvoie à autre chose, l’état de ce qu’on mesure, sur la base d’un étalon qui permet la référence à cet état.  Le  cm  pour la longueur ; 5 cm c’est la mesure d’une longueur, c’est-à-dire d’un objet de l’espace qui possède une origine, une fin, une orientation : un segment de droite.

Dit comme ça, c’est vraiment compliqué ; alors on dit un trait. Parce que cela situe alors ce qui peut être perçu. Ça donne vie à cette longueur et cette mesure qui restent abstraites. Et comme ça reste assez vague et que ça ne présente pas beaucoup d’intérêt de mesurer  des traits, quoique…, on mesure le plus souvent des côtés.  Les côtés d’un objet. Les côté de la table quand on veut savoir si elle va passer par la porte de la classe….

La mesure d’une longueur  suppose de comprendre que le cm permet de quantifier cette distance entre l’origine et la fin. Il s’agit d’un écart dans l’espace. Cela devient accessible parce que le cm peut être « visible », relié à un carreau et qu’il y a donc une perception possible de ce que peut représenter le cm au niveau de son étalonnage concret dans l’espace. L’usage fréquent de la mesure par le double décimètre et le mètre construit petit à petit chez  l’enfant un rapport à l’espace qui lui permet de comprendre l’intérêt de la mesure et de relier le numérique et l’unité de mesure.

A l’école on passe très vite à l’étude de la figure et de ses côtés . Ça permet d’avoir tout de suite des segments de droite dont l’origine, la fin et l’orientation sont déterminés d’office , par la forme de la figure.  Pour les adultes….

Le coté : Ce côté représente une limite de l’espace occupé par la figure, une orientation. Il peut prendre des appellations différentes : largeur, longueur, hauteur, base. Et le mot longueur prend alors un autre sens …

Le nombre de cotés ne permet pas forcément de préciser la nature de la figure. Carré, rectangle ont 4 cotés. Leur longueur peut varier et ne permet pas non plus de singulariser  la nature de la forme. On peut les mesurer  et cela permet  de constater qu’il y a des cotés plus longs ou plus courts mais pour l’enfant ce n’est pas forcément relié à des propriétés particulières. Il en reste le plus souvent à une perception qui relève du numérique. 5cms c’est « plus grand » que 4cms.

Le danger de l’ancrage dans le « numérique »

Le nombre est utilisé à l’école comme une donnée primordiale et un repère permanent. Cela a pour conséquence de laisser les enfants devenir des « calculateurs ». Le nombre n’est plus un outil mais une fin en soi. Il sert à trouver, calculer le résultat. Et les enfants restent persuadés que c’est cela qui compte : le calcul.

Calculer le périmètre demande de pouvoir maitriser la suite numérique pour réaliser des calculs d’ajout,  de retrait, de calculer un produit ou une somme, voire une différence ou une proportion, suivant les données proposées.

Le périmètre est très souvent situé comme un calcul d’ajout. On additionne des nombres. On oublie qu’il s’agit d’une mesure de longueur dans l’espace et on mélange les unités de mesure: les mètres et les centimètres, voire parfois les litres. On oublie qu’il s’agit d’un tour et d’un Tout et on fait une addition pour trouver le côté manquant. L’enfant calcule à partir des données numériques présentes et il ajoute puisqu’on parle du périmètre. Il ne se situe pas alors l’espace, dans la longueur d’une figure ou d’un de ses côtés, dans la mesure.

La notion de périmètre suppose de  pouvoir relier  tous ces paramètres et de voir en quoi et comment cela peut  être relié et déterminant.

La généralisation

Le problème de généralisation  se pose quand on situe pour l’enfant l’accès au savoir dans une définition qui rend abstraits les paramètres .On généralise ce qui pour l’enfant se constate dans  une action ou une situation concrète. Il y a donc nécessité de reprendre tous les paramètres qui organisent la notion et de les faire vivre dans le concret, de les distinguer, les comparer, les opposer ou supprimer, pour que les élèves prennent conscience de leur nécessité et de leur pertinence. Ils pourront alors construire l’idée que ces paramètres sont généralisables.

La longueur, ce qui est plus ou moins long, les longueurs, une longueur en cm, en m ; la mesure d’une longueur. Toutes ces notions sont  à faire vivre, à relier, à définir, les unes par rapport aux autres. La longueur d’un côté  se mesure dans le concret mais cela ne signifie pas pour l’enfant que la mesure et la longueur d’un côté soient généralisables et qu’elles deviennent une référence : le périmètre se trouve par l’addition de la longueur de  tous les côtés d’une figure.

Cela suppose de donner au nombre la place qui lui revient : celle d’un outil mathématique, celle qui offre une application dans la réalité, qui donne une compréhension ajustée dans une situation particulière. Situer le numérique comme une donnée prépondérante, comme le résultat attendu, génère chez les élèves une recherche qui ne peut pas être située dans la généralisation. La compréhension d’une situation suppose une prise de distance avec la réalité que propose la situation pour pouvoir la percevoir comme un exemple,  qu’on peut raccorder à d’autres situations du même type pour telle ou telle raison. Cela permet à l’élève de prendre en compte les paramètres de la situation avant les données numériques et de voir en quoi ces données sont organisatrices dans la situation.

Des niveaux de signification pour entrer dans la

notion de périmètre

  • Pour mesurer le périmètre d’une forme on en fait le tour.
  • Les hommes ont nommé des formes particulières qui délimitent un espace particulier dont les limites sont régulières et peuvent être mesurées. Ces formes situent des particularités qui se distinguent quand on les regarde. On appelle ces formes des figures. On les nomme de façon particulière en fonction de ce qui permet de les distinguer. Certaines figures ont des formes  qui ne sont pas limitées par des cotés qu’on peut mesurer facilement : les cercles par exemple.
  • Le nombre et la longueur de leurs côtés sont des critères importants pour reconnaitre les figures régulières.
  • Quand on veut prendre la mesure de la longueur totale d’une figure régulière, quelle qu’elle soit, on fait le tour de tous ses côtés, qu’on mesure un par un, et on additionne la mesure de la longueur de chacun de ses cotés. Cela permet de trouver la mesure de ce qui délimite la figure dans l’espace et qu’on appelle le périmètre.
  • Certaines figures ont un périmètre qui est plus facile à trouver : quand il y a peu de cotés à mesurer ; quand tous les côtés ont la même longueur et donc la même mesure.
  • Le calcul du périmètre d’un carré suppose d’ajouter 4 fois le même nombre ou de multiplier le nombre qui mesure la longueur du coté par 4 parce que le carré a quatre côtés de même longueur.
  • Le périmètre d’un triangle suppose d’ajouter la mesure de trois côtés. Parfois c’est trois fois le même nombre parce que tous les côtés ont la même longueur et donc la même mesure ; ça peut être aussi deux fois le même nombre auquel il faut ajouter la mesure du troisième coté dont la longueur  est différente  et ça peut être  trois nombres différents  quand la longueur de chaque côté est différente.
  • Pour calculer le périmètre d’un rectangle on a besoin de deux nombres qu’on va ajouter deux fois parce que le rectangle a deux côtés de même longueur plus longs que les deux autres côtés, qui sont eux aussi de même longueur.
  • Le calcul d’un périmètre permet de trouver la longueur totale d’une figure. L’aire permet de calculer la surface de cette figure, la portion d’espace qui est délimitée par le périmètre.

Des situations pour faire varier tous les paramètres et accéder à la

compréhension de la notion de périmètre :

  • Mesurer les côtés de figures différentes (par leur forme ou par leur taille).
  • Comparer le nombre de côtés de chaque figure.
  • Comparer la mesure du périmètre d’une même figure sur des tailles différentes : carrés dont les côtés sont plus courts et plus longs.
  • Comparer la mesure du périmètre d’une même figure avec des propriétés différentes : triangles qui ont une base ou des côtés de longueurs identiques ou différentes dans chaque triangle.
  • Comparer des figures différentes dont un des côtés a une même longueur.
  • Comparer des figures différentes, par leur forme, leur taille ou leurs propriétés, qui ont le même périmètre.
  • Faire trouver la mesure d’un coté à partir du périmètre et de la mesure d’un côté, qui peut être identique ou différent.
  • Demander de construire ou dessiner des figures. De noter les mesures sur le dessin en nombre de carreaux, en cm.

Donner du sens

Cette notion de périmètre n’est pas au cœur de la vie quotidienne. Elle peut naitre lors de projets de construction ou de représentation. Combien de motifs mettre autour de ma carte d’anniversaire, comment choisir l’intervalle en fonction de la largeur du motif ?  Comment représenter la classe pour les correspondants ? Quelle distance avons-nous parcourue quand on a fait trois le tour du stade ? Est-ce que j’ai assez de fil pour faire deux  fois le tour de mon colis, en haut et en bas pour, qu’il soit solide ?

On peut également la situer dans la vie et la visiter par l’intermédiaire d’enquête autour des métiers.

Je suis maçon et j’ai besoin du périmètre pour… trouver le nombre de parpaings que je vais placer dans les fondations de la maison.

Je suis jardinier et j’ai besoin du périmètre pour… trouver le nombre de rouleaux de fil de fer à placer pour clôturer le jardin autour de la maison ; pour savoir le nombre de plantes que je vais mettre tous les 20 cm autour de la plate-bande.

Je suis couturière et j’ai besoin du périmètre de ma nappe pour la border d’un ruban, de franges …

Je suis ingénieur en aéronautique et j’ai besoin du périmètre pour prévoir la taille des ailes de l’avion en fonction de son fuselage ; le nombre de fauteuils dans l’avant et l’arrière ; les plinthes pour placer les fils électriques autour de la cabine du pilote …. ; j’en ai besoin pour définir la longueur du bateau en fonction de la hauteur d’eau dans une écluse….

Le développement de la pensée

Chaque mot, chaque mise en relation, générés par ce que dit ou proposent l’enseignant et les autres élèves, fera écho, sera repris , sera compris, ou non, suivant ce que chaque élève prendra en compte. La définition venue de l’extérieur, la juxtaposition de connaissances vécues comme des informations ne suffira pas.

La réversibilité de la pensée

C’est le lien entre ce qui fait sens dans le réel et la capacité à généraliser sur la base de propriétés, qui permet que ces propriétés ne soient plus seulement perçues mais qu’elles deviennent pour l’élève des critères d’explicitation qu’il prend en compte. Cela suppose que l’accès soit possible dans des allers-retours de la pensée ; du temps dans le réel, dans le vécu, des temps d’essais, de manipulation, d’échanges de points de vue, de bilans, de synthèse ; des voyages entre la perception, l’écriture, la façon d’en parler.

Différentes façon d’en parler…

Trouver le périmètre d’une figure : les termes sont généraux ; les réponses vont varier en fonction du niveau de signification accordé par l’enfant.

Trouver le périmètre d’un carré : la mise en relation Périmètre/Carré va convoquer ce qui est connu sur le carré.

Calculer le périmètre d’une figure : c’est le calcul qui va conduire la réponse qui sera difficile à construire si l’enfant ne se situe que dans le numérique parce qu’il n’y a pas de nombres proposés.

Mesurer le périmètre d’un champ : c’est la mesure qui va conduire la réponse ; elle est reliée à un objet du réel : le champ. Pour certains la notion de côté sera plus difficile à évoquer dans ce contexte car le champ ne sera pas forcément convoqué comme une figure, comme un rectangle.

Trouver la longueur du champ quand on connait le périmètre : le mot Champ peut poser problème à certains mais la mise en relation longueur du champ et périmètre connu peut suffire à relier les données.

Calculer le périmètre d’un carré de 6 cm de côté : La réponse relie le calcul et une donnée en cm. Elle suppose de s’appuyer sur les propriétés du carré. Pour certains ce sera un calcul de mesure et l’unité de mesure sera prise en compte en tant que telle; pour d’autres ce sera un calcul numérique. Pour certains ce sera une somme, pour d’autres un produit.

Jusqu’au CE2 : sur des objets de la classe, des objets de la réalité, de

la vie.

  • Observer, définir des éléments du réel, un par un. Les comparer suivant leurs propriétés. Utiliser ensuite les mots qui généralisent : longueur ; mesure ; côté ; périmètre.
  • Utiliser des objets comme unités de mesure : trombones, gommes pour mesurer la table, le cahier.
  • Créer des unités intermédiaires : ficelle, bande de papier pour faire le tour, comparer.
  • Utiliser des instruments de mesure : règle d’un mètre graduée en cm, mètre ruban, règles de 20, 30, 50 cm.
  • Définir et comparer des figures géométriques simples : Carré, rectangle, triangle. Mesurer des longueurs, des côtés. Des distances entre deux points. Réaliser des calculs d’ajouts ou de retraits sur des éléments visibles, avec une seule unité de mesure.

A partir du CE2 ou du CM : sur des objets du réel, sur des objets reliés à

une réalité de la vie, sur des objets mathématiques.

  • Observer et comparer à partir de paramètres généraux : la longueur, la mesure, le nombre de côtés pour définir et comparer les mesures, les propriétés, les figures les unes par rapport aux autres ou pour chercher une donnée manquante.
  • Réaliser des calculs de mesures avec des unités différentes (3m 70 cm; 3km 700 m; 3, 7 kms ; 3/7 de km.)
  • Trouver ce qui manque en fonction des propriétés des figures. Faire des déductions successives qui emboitent les données les unes par rapport aux autres. Combiner des données sur la base des liens entre le Tout et les propriétés des parties.
  • Relier l’aire et le périmètre sur la base de toutes leurs composantes. Dans le réel. Sur des figures.

Des discours d’élèves de CM

«  On a fait un carré avec 3 cm comme c’était noté. On a fait un rectangle sauf que sur le bas et le haut du

rectangle on ne pouvait pas faire 3 cm. Du coup, on a fait 6. Pour le triangle, on ne savait pas comment faire

pour les 3 cm de chaque côté. »

« J’ai dessiné un triangle et un carré. De chaque côté du carré, il y avait 7 cm. Le triangle il a 6,6 cm et puis de

l’autre côté du triangle il y a 7 cm, en bas du triangle il y a 5,9 cm. En tout le carré, il avait 28 cm. Puis le triangle,

19 cm virgule 5 mm »

« On a fait des rectangles. Le périmètre c’était de 16 cm. On peut avoir le même périmètre mais en ayant des

rectangles de formes différentes. …Parce que là il y a un rectangle qui ressemble à un carré et il y en a d’autres

qui sont petits et très allongés et pourtant ils ont le même périmètre. »

« Si je fais plusieurs triangles avec la même longueur de périmètre, les triangles ne prendront pas la même forme

et seront très différents et on en conclut que avec des chiffres on peut obtenir plusieurs fois un nombre

(périmètre). Si on fait 3 triangles de la même longueur de périmètre, ils ne seront pas toujours de même

largeur et longueur (forme) mais ils seront toujours de la même taille de périmètre.  »

« C’était tous des triangles. Ils avaient tous un point commun, il faisait tous le même périmètre. Ils mesuraient tous

13cm de périmètre. »

«  On a déjà mesuré le plus grand carré, il faisait 32 cm. De périmètre. Après on a fait le moyen et il faisait 20 cm de périmètre et après on a mesuré le petit qui fait 2 cm. Après on a fait un carré et on a fait 4+4+4+4, quatre fois quatre, et ça nous a donné 16 cm de périmètre. »

«  En fait au début sur ma feuille j’ai mesuré et j’ai additionné en premier le grand carré qui faisait tous 8 cm. Ensuite le plus petit carré et qui faisait 3 cm partout. Et le dernier carré qui faisait 5 cm partout. Ensuite j’ai tracé avec ma règle et mon équerre, un carré de 10 cm partout. Sinon C’est A. qui s’est occupé des calculs avec la calculette… »

«  En premier j’ai calculé les quatre côtés du plus grand carré : 8cm+8cm+8cm+8cm est égal à 32 cm. Après j’ai calculé le deuxième carré : 3cm+3cm+3cm+3cm est égal à 12 cm. Enfin j’ai calculé le troisième carré : 5cm+5cm +5cm+5cm est égal à 20. Enfin j’ai tracé un carré de 40cm. »

Chaque discours montre sur quoi s’appuie l’élève, à quoi il attache de l’importance : le calcul, la mesure,

les propriétés des figures, les mises en relation numériques. Les données ne sont pas perçues de la même façon.

Certains restent ancrés dans l’action, d’autres dans la construction.

Certains cherchent un résultat concret, un résultat numérique.

D’autres sont passés à la généralisation et peuvent prendre du recul pour définir des critères et des mises en relation qui permettent la définition.

Écouter les enfants, prendre en notes ce qu’ils ont vraiment dit, permet de constater où ils en sont chacun et ce qui leur manque. On peut ensuite leur répondre différemment et les orienter vers les situations de recherche  qui peuvent  les faire progresser.

Il s’agit d’une formation, il s’agit d’une prise de conscience. Il s’agit d’une transformation sans cesse à reconstruire en prenant en compte d’autres éléments. Il s’agit de s’ouvrir sur la pensée des élèves et sur leur rapport au savoir. Il s’agit de transformer le développement de sa pensée d’enseignant.

Il s’agit, de mon point de vue, d’un enseignant Freinet…

La pédagogie Freinet se construit dans l’échange de points de vue , dans l’échange et la coopération avec une visée émancipatrice basée sur de l’explicite, en lien avec la vie et l’éthique ….

Voir les liens de la Rubrique Mathématique

Voir les liens de la Rubrique Développement de la Pensée

Voir les liens de la Rubrique Pédagogie

Voir les articles de la Rubrique Lire- Ecrire 

Voir le contenu des valises par niveau PS au CM

Voir les Affiches de synthèse

Voir les liens de la Rubrique Langage

Voir les liens  de la Rubrique Connaissance du monde

Un outil de formation à la pensée complexe:

Un livre que nous avons écrit à 10 enseignants du groupe Freinet 44,  qui donne à voir nos parcours, nos questionnements, nos doutes et nos différences

Ce livre s’appelle: Ouvrons des pistes, itinéraire de 10 enseignants Freinet,  Edition du Centre du Travail.

Voir l’article: deux livres pour toi qui débutes en Pédagogie Freinet

Vous trouverez, dans la colonne de droite de ce blog, deux tableaux récapitulatifs de tous les articles du blog, rangés par rubriques, afin de vous donner une vision d’ensemble de ce qui est paru dans ce blog.

Si cet article vous a intéressé, n’hésitez pas à vous inscrire sur la News Letter dans la colonne de droite du blog pour recevoir une présentation des prochains articles. Vous pouvez aussi laisser un commentaire , poser des questions ou demander des renseignements. Bonne lecture…

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