Le développement de la pensée dans les situations problèmes

Cet article cherche à mettre en évidence l’importance des situations problèmes dans le développement de la pensée des élèves. Il aborde le rapport aux mathématiques et au développement de la pensée, en prenant en référence des éléments de l’approche de la Méthode Singapour qui est ainsi questionnée.Un schéma présente les bases de travail dans cette méthode.

Il présente une classification de situations problèmes, en fonction du développement de pensée nécessaire à la compréhension de ces situations. Des exemples de situations problèmes  sont proposés et analysés. Ils permettent de mettre à jour les obstacles que peuvent rencontrer  les élèves.

Une réflexion est menée sur  ce que la représentation imagée peut apporter au niveau de la compréhension . Dessin, schéma, modélisation sont analysés en fonction du niveau de développement de pensée des élèves. Deux affiches proposent une synthèse de ce qui est mis en jeu dans une représentation d’un classement des situations problèmes .

Cet article m’a demandé beaucoup de temps et de recherche parce qu’il essaie de défendre un rapport aux mathématiques en lien avec ce que cela suppose au niveau du développement de la pensée. Ces deux domaines : mathématiques et développement de la pensée, ne sont pas souvent reliés dans la pratique. On accorde souvent beaucoup d’importance au vocabulaire mathématique, à une maitrise de procédures , à une connaissance de l’organisation du système numérique ou des lois de composition . On ne met pas en avant les opérations mentales nécessaires pour que la compréhension soit possible. Elles conditionnent pourtant ce rapport aux mathématiques et elles conditionnent aussi le développement de la pensée. Se pencher sur ces opérations mentales c’est avant tout explorer ce qui permet au cerveau de comprendre , sans passer par l’imagerie, pour cibler ce qui en jeu dans une situation de recherche et de réflexion.

A ma connaissance il n’y a pas de zone de la compréhension dans le cerveau ….

Une vision générale du développement de la pensée

J’ai situé dans d’autres articles le rapport à la connaissance sur trois niveaux :

1 : La perception que nous pouvons vivre sur un élément que nous traitons et mémorisons comme une information isolée.

2 : L’attention que nous pouvons porter sur des éléments précis que nous distinguons et que nous mettons en relation pour construire des éléments de connaissance partielle.

3 : La prise de conscience que nous réalisons quand nous avons pris compris l’organisation d’une notion , d’un Tout, dont nous percevons les éléments et les mise en relations structurantes.

Ces trois niveaux d’accès et de compréhension sont favorisés par les opérations mentales que nous utilisons. Plus nous sommes capables d’attention et de prises de conscience, plus les notions que nous visitons seront pour nous ouvertes , riches et complexes. Cela suppose la possibilité de construire un point de vue, c’est-à-dire une décentration de notre affect, de nos croyances et une prise en compte de ce que le monde et les autres nous apportent de leurs différences, pour sans cesse compléter et remettre en question ce que nous savons. Cela n’est possible que si nous prenons l’habitude d’utiliser la réversibilité de notre pensée : revenir en arrière, changer de mises en lien, évoquer d’autres possibles ou perspectives.

Pour aider les jeunes enfants à ouvrir leur pensée sur ces trois niveaux de compréhension on peut favoriser  une approche qui leur fait percevoir les informations, non pas comme des éléments distincts et isolés, mais comme des Touts qui sont composés de parties différentes suivant le point de vue qu’on adopte pour les regarder. Il s’agit bien de développer une pensée plurielle. Pas de pensée unique, de mécanismes ou procédures à reproduire. Tout peut être considéré différemment suivant le contexte et les choix ou intentions. Et chaque élément peut être considéré comme un Tout composé de parties mais aussi comme l’élément d’un autre Tout. Il s’agit de passer du particulier au général, du concret- immédiat- visible à l’abstrait- différé parce que pensé- possible, évocable .Tout peut être pensé et problématisé suivant la façon dont on le considère. Penser c’est bien alors problématiser le réel pour construire d’autres possibles sur le monde.

Certains situent le TE comme la possibilité d’expérimenter, d’essayer. De mon point de vue TE le représente le droit à penser, c’est-à-dire le droit à pouvoir développer une pensée complexe qui peut opérer  dans toutes les situations.

Les situations de jeu libre et de création offrent la possibilité de l’expression, de l’intention, de l’innovation. Cela favorise un développement de la pensée qui relie à partir de constats ou d’hypothèses qui proviennent  de la pensée de celui qui joue ou crée.  Cela peut limiter la possibilité de s’ouvrir  sur des paramètres  inconnus .

Les situations de compréhension ouvertes sur l’extérieur contraignent  la pensée à s’interroger sur des possibles qui n’appartiennent pas à celui qui cherche. C’est le propre des situations problèmes dont les caractéristiques peuvent échapper dans un premier temps à celui qui cherche à comprendre.

Sauf si c’est lui qui construit la problématique , ce qui demande à l’élève la capacité de construire ce qui va motiver la recherche.

Apprendre à penser

Les évaluations PISA ou PIRLS témoignent du fait que les élèves français ont des problèmes de compréhension aussi bien dans la compréhension de textes que dans la compréhension des situations problèmes. Ces élèves ne sont pas nécessairement en  difficulté  ou moins capables que ceux des autres pays. Ils montrent, dans ces situations d’évaluation, les compétences qui sont développées dans le système éducatif français : reproduction de mécanismes, mémorisation de règles utilisées sans références, choix d’opérations sur la base d’une chronologie et d’un vocabulaire qui ne sont pas questionnés par les élèves. Ces élèves reproduisent ce qu’on leur a appris à appliquer. Ils n’ont pas utilisé leur esprit critique, leur capacité d’estimation, leur faculté de tri et de choix parce qu’ils n’ont pas eu l’habitude d’être ceux qui proposent, trouvent, réfutent. Ils n’ont pas eu un enseignement qui leur permet de développer leur pensée. Cela n’est pas possible dans notre système éducatif parce que les enseignants n’ont pas eu de formation en ce sens. Le droit de penser n’est pas au cœur de la formation des enseignants à qui on ne fait plus lire les théories sur l’apprentissage et les chercheurs et psychologues qui ont travaillé sur le développement de la pensée.

Le choix que je fais , de développer des références particulières,  provient du fait que je constate une demande des jeunes enseignants qui souhaitent s’appuyer sur la parole et les propositions de leurs élèves. Il disent qu’il leur manque des bases réflexives construites pour rebondir sur ce que proposent les élèves en ayant le sentiment de faire avancer leur compréhension. Ils peuvent identifier des éléments de connaissance dans les propositions mais ils ne savent pas forcément en quoi et comment la compréhension des élèves  se réalise et peut évoluer dans les situations. C’est pour répondre à cette demande que je vais situer les contours de cette réflexion autour du développement de la pensée dans les situations problèmes en m’appuyant sur certains paramètres que présente la Méthode Singapour.

La Méthode Singapour

La Méthode Singapour est construite autour des théories de l’apprentissage, des chercheurs sur le développement de  la pensée et sur les différents courants de recherches en mathématiques. Elle forme en deux ans les professeurs de mathématiques à partir d’ une posture réflexive qui leur demande de déconstruire leur rapport aux élèves et leur rapport aux maths. Elle place au cœur de la pratique la résolution de problème parce qu’elle défend l’idée que cela permet aux élèves de développer leur pensée .

Il ne s’agit pas pour moi  de défendre l’utilisation des fichiers proposés par cette méthode dont l’analyse pourrait permettre, de mon point de vue, de construire une autre approche de la formation en mathématique  des enseignants. Cela supposerait que les enseignants soient formés sur une approche réflexive qui mettrait en lien l’approche spiralaire des notions du CP au CM. Ces fichiers ne sont que des fichiers. Ils ne laissent pas place à la proposition initiale de l’élève. Ils le conduisent sur des chemins qui installent un cheminement de pensée construit intelligemment mais qui est toujours conduit par l’enseignant. Les fichiers situent une limite pédagogique qui place l’enseignant comme décisionnaire de l’approche et de l’organisation du rapport au savoir.

On peut imaginer de questionner cette Méthode non pas au niveau de son rapport pédagogique mais  au niveau de son rapport aux mathématiques qui s’appuie sur le développement de la pensée des élèves.

C’est sur une vision globale des liens entre un Tout et des parties que cette méthode va construire le rapport au nombre. Je reprendrai  cette formulation en montrant comment cette faculté de s’appuyer sur une vision organisatrice d’un Tout est au cœur de la faculté de penser et de comprendre dans toutes les situations.

La résolution des situations problèmes est basée dans la Méthode Singapour sur un classement en trois classes de situations qui situent un rapport différent aux situations prises en compte : le groupe, le changement et la comparaison. Je reprendrai ce classement pour montrer comment la pensée se développe et sur quelles bases dans chacune de ces situations.

Je traiterai enfin de la place accordée à la représentation pour aider à la compréhension : dessin, schéma, modélisation.

Mon objectif n’est pas de défendre la Méthode Singapour mais de reprendre les éléments qui me semblent pertinents pour voir comment se développe la pensée des élèves dans les situations problèmes parce que je situe , dans le prolongement de la pensée de Freinet, un rapport essentiel  aux mathématiques à partir du « calcul vivant ».

Des conditions à analyser

Des obstacles cognitifs

Certains disent que « Penser c’est problématiser le réel ». Les enfants semblent avoir souvent des difficultés à comprendre et résoudre à l’école  des situations problèmes. Sont-ils dans l’incapacité de penser ? Avant de dire que les élèves ont des difficultés on peut s’interroger sur ce qui leur pose des difficultés et pourquoi. N’y a-t-il pas dans ce qui leur est proposé des obstacles qui génèrent des difficultés de compréhension ?

Le premier obstacle est sans doute le fait que ce n’est pas l’ enfant qui pose le problème. Ce n’est pas lui qui problématise le réel. Il doit comprendre quelque chose qui lui est extérieur. Cela ne mobilise pas forcément son intérêt, son attention et les capacités qu’il possède vraiment. Ce n’est pas sa pensée qui est en marche. Il doit comprendre celle de quelqu’un d’autre. Cela interroge sa capacité à comprendre une situation dont la problématique est posée sur des bases qui ne sont pas les siennes.

Le deuxième obstacle c’est que souvent les situations proposées ne s’appuient pas sur la réalité de l’enfant . Les situations parlent de scénari qui doivent être imaginés et qui sont éloignés du vécu immédiat. Cela n’incite pas à l’intérêt et ne respecte pas  la zone proximale de développement. Cela fait appel à la nécessité de s’investir dans un projet scolaire pour apprendre, ce qui est loin d’être le cas pour tous. Cela suppose aussi de connaitre des codes particuliers pour relier les situations proposées avec un vécu et ce qui est déjà connu. Ce qui peut devenir  très élitiste.

Le troisième obstacle est le fait qu’on ne s’interroge pas sur le développement de la pensée des enfants et sur ce qu’ils sont vraiment en capacité de comprendre à tel ou tel niveau d’âge. On propose souvent à l’école des problèmes qui peuvent sembler simples parce que l’énoncé est court ou qu’il n’y a qu’une opération  numérique à réaliser. Le vocabulaire de l’énoncé peut cependant poser problème ou la mise en relation rester obscure pour l’enfant.

Le quatrième obstacle c’est qu’on ne met pas en relation les opérations mentales des différentes situations problèmes avec les opérations mentales qui sont en jeu dans leur résolution. On suppose souvent que toutes les opérations mentales sont de même niveau ou qu’elles sont évidentes.

L’école utilise le plus souvent les situations problèmes comme des champs d’application de ce qu’elle appelle : les opérations. Il y a donc des problèmes d’addition, de soustraction, de multiplication et de division. L’école  ne s’appuie pas alors sur ce que cela met en jeu au niveau du développement de la pensée des enfants. Les opérations prennent toute la place et pour l’adulte elles découlent de la logique. Elles sont déterminantes et deviennent ce qui permet de trouver LA solution. On ne prend pas en compte ce que l’enfant a vraiment compris de la situation. S’il a utilisé l’opération attendue, on estime qu’il a compris ce qu’il fallait faire. Il s’agit bien de « faire », faire la bonne opération. On ne sait pas pour autant ce qui a poussé l’enfant à utiliser telles données ou à choisir telle opération.

Une classification en fonction des opérations mentales

Quand on s’interroge sur le développement de la pensée, on peut percevoir les situations problèmes avec un autre point  de vue : celui de la difficulté de compréhension qu’elles peuvent poser. On peut  classer les problèmes sur la base de ce que la pensée doit aborder . On peut s’appuyer sur un classement qui met en jeu trois dimensions différentes du développement de la pensée :

  • une perception de situations qui sont descriptives et qui organisent un ou des groupes pour composer des Touts et des parties,
  • une prise de conscience d’un changement dans des situations qui se transforment dans le temps et la déduction de la conséquence qui découle de ce changement,
  • une analyse de la relation qui organise des situations qui sont basées sur une comparaison et la prise de conscience qu’une valeur différente va en découler, accordée aux données prises en compte.

Je vais proposer des exemples de situations et une analyse de leur compréhension. Cette analyse mettra en relation le niveau de pensée des élèves et les données à prendre en compte mais elle ne proposera pas les calculs à réaliser pour trouver une réponse au problème posé. Les calculs et les opérations choisis traduisent des savoirs faire qui ne situent pas toujours le raisonnement des enfants. Il me semble important que les situations problèmes soient évoquées, discutées, dessinées avant que les données numériques ne prennent place. Ces données numériques prennent alors une juste place : celle de la trace d’un raisonnement écrit en langage mathématique à partir de la compréhension d’une  situation . Le langage mathématique relie alors les données prises en conscience et ne choisit les calculs qu’en fonction de ce qui a été compris avant ce choix.

Je ne développe pas ici en quoi il est plus intéressant de partir des élèves. Je l’ai fait dans d’autres articles. Cet analyse cherche à aider les enseignants à analyser les situations problèmes rencontrées ou présentées dans les classes y compris celles qui sont proposées par les élèves. Il me semble important de pouvoir situer comment se réalise le développement de la pensée et sur quelles bases. Il me semble intéressant de s’interroger en tant qu’enseignant pour chercher à constater quelles sont les situations problèmes qui sont visitées par la classe et s’il y a des catégories de problèmes qui reviennent régulièrement ou qui manquent. Si l’on souhaite que le développement de la pensée des enfants soit ouvert, riche et diversifié, la prise de conscience de la présence ou de l’absence de certaines catégories de situations me semble nécessaire, pour les élèves comme pour l’enseignant.

Une proposition de classification des problèmes

1 – Les situations de groupes

Les situations de groupes sont des situations problèmes qui mettent en jeu des données de même nature qui se complètent. La question posée dans le problème cherche  à considérer les données proposées pour les réunir, les séparer et comprendre comment elles sont placées les unes par rapport aux autres. Elles parlent d’ensembles, de collections, de groupes, qui  forment les parties ou le Tout dans une situation particulière. L’enfant doit donc comprendre qu’il s’agit d’une description et que le calcul à réaliser doit permettre de dire autrement ce qui est déjà là. Les questions à se poser sont  : De quel Tout s’agit-il ? De quoi est-il composé ? Quelles sont ses parties ? Est-ce que ce qui n’est pas connu est le Tout ou est-ce une de ses parties ? Soit il s’agit de trouver le Tout parce qu’on connait les parties et ce sont l’addition et la multiplication qui permettront de le calculer ; l’addition si ce sont des parties inégales ; la multiplication si ce sont des parties égales. Soit il s’agit de trouver une des parties dont on connait le Tout et ce sont la soustraction et la division qui permettront de le faire ; la soustraction, si ce sont deux parties inégales et que l’autre partie est connue ; la division, si les parties sont égales.

Anna a 10 cookies au chocolat et 5 cookies à la vanille. Combien a-t- elle de cookies ?

Analyse : Il s’agit de trouver un Tout : le nombre de cookies. On additionne les deux parties : le nombre  des cookies à la vanille et le nombre des cookies au chocolat.

Jules a 3 paquets de 8 billes . Combien a-t-il de billes ?

Analyse : Il s’agit de trouver un Tout : le nombre de billes. On additionne les trois parties : le nombre de billes ou on effectue un produit : le nombre de billes trois fois.

Le poids total d’un colis qui contient une bouteille d’eau et de deux paquets de sucre est de  3,5kgs. Chaque paquet de sucre pèse 1k. Combien pèse la bouteille d’eau ?

Analyse : Il s’agit de trouver une partie d’un  Tout . Le Tout c’est le poids total du colis. Les parties : le poids des paquets de sucre et celui de la bouteille d’eau. On connait le Tout .On cherche le poids de la bouteille d’eau. On peut connaitre le poids de l’autre partie : le poids des paquets de sucre, en ajoutant ou en multipliant le poids d’un paquet. On peut alors enlever le poids des paquets de sucre du poids total et on trouve le poids de l’autre partie, celui de la bouteille d’eau.

Les cinq gagnants d‘un concours ont gagné ensemble un prix de 450 euros. Quelle somme a gagné chacun ?

Analyse : Il s’agit de trouver une partie d’un Tout : le prix qui a été gagné. Cette partie est le partage de ce Tout entre cinq personnes. On divise donc ce Tout en cinq pour trouver la partie qui est égale pour chacun.

Trois classes de 24, 22 et 19 élèves s’inscrivent pour une sortie. Le jour du départ 8 élèves sont absents. Le prix du billet de car est de 5 euros. Combien va couter le transport ?

Analyse : Il s’agit de trouver un Tout : le prix du transport. Il s’agit du transport des élèves de trois classes. Le nombre d’élèves est aussi un Tout qu’on ne connait pas et qu’il faut calculer. On connait ses parties : le nombre d’élèves par classes. On calcule donc le nombre d’élèves de toutes les classes. Mais il y a des absents. On va donc enlever de ce Tout : le nombre des élèves des trois classes, le nombre des élèves absents. On obtient le nombre des élèves qui seront présents dans les cars. On peut ensuite calculer le Tout posé par la question : le prix du transport. Il faut un billet par élève. Chaque élève va couter 5 euros. On peut calculer le prix du transport en multipliant le nombre des élèves par le prix d’un billet .

Cette situation est complexe parce qu’elle met en jeu plusieurs Touts , de nature différente, qui sont en interaction : le nombre d’élèves des classes, le nombre d’élèves présents qui découlent l’un de l’autre et le prix du transport qui relie le nombre d’élèves présents et une autre donnée : le prix d’un billet. Ces Touts de nature différente  sont à calculer. C’’est leur différence de nature qui peut gêner la compréhension de l’élève. Ces Touts ne sont pas emboités naturellement l’un dans l’autre. Ils parlent chacun d’autre chose. Relier un Tout qui parle d’un nombre d’élèves et du prix d’un billet relève de la logique du vécu. Il faut payer le transport de chacun. Cette mise en relation logique restera première dans la pensée de certains élèves quand ils auront lu l’énoncé. La prise en compte des élèves absents relève d’une autre capacité : comprendre qu’une situation peut être composée de plusieurs Touts qui sont en interaction et que ce qui est demandé peut relier un Tout qui est à questionner. Les enfants se situent dans la lecture de l’immédiat et leur pensée reste suspendue à ce Tout qui leur est demandé : le prix du transport. La notion d’absence a disparu… Si une mise en relation est faite cela posera la difficulté de compréhension différemment : calculez le nombre d’absents ; il y aura besoin de moins de billets que d’élèves dans les classes ; le prix du transport sera moins important parce qu’il y a des absents…

Des situations particulières

Quand le Tout et les parties situent des données numériques simples , des nombres entiers, trouver le Tout ou l’une des parties revient à réaliser un calcul, une opération.

Les données numériques peuvent devenir complexes : les nombres décimaux, les fractions, les pourcentages, les moyennes, les taux , les mesures . Cela nécessite alors d’avoir construit une connaissance d’une autre nature, qui est à mettre en lien avec la complexité de la situation problème. La notion du Tout et des parties peut alors être perçue au niveau de la compréhension des données du problème mais être perdue dans la complexité de la donnée numérique.

Si on reprend le problème posé précédemment : Le poids total d’un colis qui contient une bouteille d’eau et de deux paquets de sucre est de  3,5kg. Chaque paquet de sucre pèse 1k. Combien pèse la bouteille d’eau ?

Analyse : Il s’agit de trouver une partie d’un  Tout . Le Tout c’est le poids total du colis. Les parties : le poids des paquets de sucre et celui de la bouteille d’eau. On connait le Tout .On cherche le poids de la bouteille d’eau. On peut connaitre le poids de l’autre partie : le poids des paquets de sucre, en ajoutant ou en multipliant le poids d’un paquet. On peut alors enlever le poids des paquets de sucre du poids total et on trouve le poids de l’autre partie, celui de la bouteille d’eau.

Ce raisonnement peut être tenu par un enfant qui comprend ce qu’il a à chercher mais qui ne sait pas forcément comment utiliser cette donnée : 3,5 kg. Il va trouver le poids des deux paquets de sucre parce qu’il s’agit de données numériques simples :  2X 1kg = 2 kg. Mais que veut dire 3,5 kg ? Comment comprendre 3,5kg – 2 kg ?

Il s’agit alors non pas d’une difficulté à comprendre un problème mais d’une méconnaissance du système de mesure de masse et de son écriture numérique. Ces données particulières sont,  elles-mêmes, complexes et supposent d’avoir pénétré dans l’organisation du système métrique et de l’organisation décimale.

La géométrie :

Certaines situations mettent en jeu d’autres données, comme la géométrie par exemple. Si le Tout est une figure géométrique, trouver sa longueur, son périmètre ou son aire suppose de pouvoir s’appuyer sur d’autres connaissances qui ne relèvent plus alors du numérique mais de la mise en relation de propriétés connues qui situent dans l’espace.

Quel est le périmètre d’un rectangle dont la longueur est de 8 cm et la largeur de 4 cm ?

Il s’agit bien de calculer un tout et ce sera bien un calcul numérique qui le permettra. Mais cela ne suffit pas. Il faut pouvoir engager un autre domaine connaissance : les propriétés du rectangle, la notion du périmètre. Ce sont ces connaissances particulières qui feront percevoir le Tout à chercher sur des bases justes. Le périmètre à calculer suppose de prendre en compte et d’ajouter la longueur de tous les côtés du rectangle. Un rectangle est composé de deux longueurs et de deux largeurs.  Ce Tout est donc composé de quatre parties : deux fois la mesure de la longueur et deux fois la mesure de la largeur. Ce sera donc un calcul à deux étapes : un ajout de deux longueurs et de deux largeurs ou un produit de deux fois l’ajout d’une longueur et d’une largeur.

Il en sera de même pour les notions de volume qui permettent de trouver la mesure d’une arrête. ( Le volume d’un cube est de 125 cm3. Combien mesure son arrête ? ) Ou pour les notions d’angle complémentaires dans une figure géométrique particulière.

Les situations problèmes seront donc à considérer au niveau de la compréhension du lien entre le Tout et les parties dans la situation mais aussi au niveau des connaissances particulières que la situation peut présenter.

2 – Les situations de changement, de transformation

Les situations de transformation donnent à voir une histoire. Il se passe quelque chose. Un changement va se produire dans la situation et ce changement va avoir des conséquences que les données vont traduire. Ce type de situation met en jeu la compréhension chronologique de la situation. Il y a un état initial à prendre en compte et  un changement qui va produire une transformation et un état final. Cela suppose la capacité de comprendre comment le changement  va faire évoluer la situation, en quoi les causes et les effets sont reliés.

Il y a 15 voitures dans le parking le matin. A midi 3 voitures sont parties. Combien y a-t-il de voitures maintenant dans le parking ?

Analyse : Le départ  de trois voitures change la donne. C’est ce changement de la situation qui organise la compréhension du calcul à réaliser. Il y en aura moins ensuite.IL faudra donc enlever celles qui sont parties et cela permettra de trouver ce qui reste après.

Pierre a joué aux billes. Il avait trois billes et il en a gagné 7. Combien a-t-il de billes à la fin de la partie ?

Analyse : Pierre a gagné des billes. Il en aura donc plus. On ajoute donc ce gain à ce qu’il possédait avant et on trouve ce qu’il possède après. S’il en avait perdu il en aurait eu moins.

Dans le magasin les trois rayons de vêtement étaient remplis. Il y en avait 8 par piles et 4 piles par rayons. La vendeuse a vendu 2 vêtements dans chaque pile. Combien de vêtements reste-t-il ?

Analyse : Il y a eu une vente et donc le nombre de vêtements n’est plus le même. Il y en aura moins . Pour le calculer il faut savoir combien il y en avait avant la vente ; ce qui n’est pas précisé mais qu’on peut calculer en multipliant le nombre de vêtements par piles et le nombre de piles puis par le nombre de rayons . On enlèvera ensuite ce qui a été vendu .Cela n’est pas précisé non plus mais peut être calculé en multipliant le nombre de piles par 2.  . On va donc calculer le nombre de vêtements avant la vente , le nombre de vêtements vendus et on pourra ensuite faire le calcul qui permet de trouver le nombre de vêtements qui reste .On soustraira le nombre de vêtements vendus du nombre de vêtements qui étaient à vendre.

Ce raisonnement demande de revenir plusieurs fois de l’état initial à l’état final et inversement. Il y a plusieurs prises de conscience à réaliser, plusieurs calculs intermédiaires à faire. Ils ne seront perçus que si l’enfant possède la capacité de relier sans cesse les données à cette transformation  que suppose la vente .

Certains enfants vont lire la situation de façon successive et ordonnée .Ils auront peut-être du mal à résoudre le problème parce qu’ils ne seront pas revenus en arrière. Comprendre une situation de changement suppose de comprendre ce que la transformation met en jeu  et non pas regarder uniquement ce qui va en découler. Il y a donc nécessité d’utiliser la réversibilité de la pensée pour penser la situation dans les deux sens : ce qu’elle était initialement et ce qu’elle devient.

3 – Les situations de comparaison

Les situations de comparaison sont des situations très particulières parce qu’elles supposent que  la pensée situe de façon extérieure à la situation. Il ne s’agit plus de comprendre ce qui est là , ou ce qui s’est passé mais d’accorder une valeur particulière à des données qui sont mises en relation les unes avec les autres en fonction de cette valeur. Il y a donc à comprendre une mise en relation, qui situe une valeur particulière,  et  comprendre comment elle peut  agir sur des données .

Jacques a 7 ans . Pierre a trois ans de plus que lui . Quel âge a Pierre ?

Analyse : Il y a deux personnes et il y a une mise en relation. L’un est plus âgé que l’autre . Cette mise en relation est située : 3 ans. Il s’agit d’une augmentation chronologiquement située dans le texte. On parle d’abord du plus jeune et on situe son âge. On parle ensuite du plus âgé et on dit combien il y a de plus. La situation d’ajout prend sens facilement.

Pierre mesure  1,40m. Il fait 10 cm de plus que Jacques. Combien mesure Jacques ?

Analyse : Il y a deux personnes et il y a une mise en relation. L’un est plus grand  que l’autre . Cette mise en relation est située : 10 cm. Mais cette fois on parle d’abord du plus grand.  La mesure de l’écart prend un autre sens. Il ne doit plus être perçu comme un ajout mais comme une différence.

Le premier colis pèse 2,5kg. Le deuxième 3,2 kg. Quelle est la différence de poids entre les deux colis ?

Analyse : Il y a deux colis  et il y a une mise en relation sur leur poids. L’un est plus élevé que l’autre . Cette mise en relation n’est pas vraiment  située comme une comparaison ; on parle de différence. C’est à ce niveau que la difficulté se situe. Pour trouver cette différence , il faut comparer et il faut comparer sur la  base de mesures numériques qui doivent être situées dans un ordre numérique. Les deux poids sont indiqués. La mesure de la différence prend un sens particulier . Elle situe un écart de poids. La comparaison reste une référence de fond  mais elle n’organise pas la recherche. Pour trouver cet écart , il est nécessaire de comprendre qu’il y a une relation de complémentarité entre les deux poids et leur différence. Et que cet écart suppose de trouver ce qui relie les deux mesures .Il s’agit d’une différence qui peut se constater en retranchant  le poids le moins élevé du plus élevé. Cette situation de comparaison est complexe du fait du lien entre le Tout et les parties, du fait de l’implicite à construire entre la quantité numérique, le poids et la mesure en Kg. Certains élèves vont effectuer l’opération correcte parce qu’ils comprendront le vocabulaire mathématique usuel : différence = soustraction. Ils n’auront pas nécessairement compris que cette différence numérique situe une comparaison de poids.

4 – Les situations qui mélangent tout…

Ajout, soustraction, multiplication ou division. Somme et produit. Partition ou quotittion. Liens différents entre des Touts et des parties qui ne sont pas de même nature. Etapes. Déduction. Tout est possible et peut être juxtaposé, complémentaire dans une situation problème. Ce qui bien évidemment suppose des capacités de retrouver ce qui est important, ce qui est en lien avec, ce qui doit se traiter d’abord.

« Sur une balance il y a deux poires et une pomme . La balance affiche 220 g. Si la pomme fait 90 g quel est le poids des deux poires ? Si les deux poires font le même poids quel est le poids d’une poire ? Si j’enlève la pomme quel poids va afficher la balance ? »

« Un carton contient 150 ampoules. Dans le transport 4 ampoules se cassent. Les ampoules qui sont arrivées intactes sont rangées par boites de 6. Combien de boites peut-on faire ? »

« M. Dupont a vendu 337 plaquettes de chocolat le mois dernier. Ce mois-ci il en a vendu 115 de plus. Il avait 700 plaquettes en stock. Combien pourra-t-il en vendre le mois suivant ? »

« Il a acheté 200 œufs pour faire des gâteaux. Il faut 6 œufs par gâteaux. Combien de gâteaux peut-il faire ? S’il les vend 12 euros chacun, combien va-t-il gagner en vendant ses gâteaux ? »

La réversibilité de la pensée est nécessaire. La compréhension du lien entre le Tout et les parties aussi. La comparaison sur du non visible, du connu, du prévisible,  ou sur des  unités qui situent le « même »  demande de pouvoir s’appuyer sur des références déjà installées. Très souvent il y a nécessité de décomposer la situation, de retrouver des étapes de transformation de la situation et des étapes de traitement des informations.

Cela peut se faire à l’oral, par l’échange de points de vue . Le dessin, le schéma ,la modélisation peuvent aider à redonner vie et sens pour que la compréhension de l’élève puisse y trouver un appui et se déployer dans les différentes directions pertinentes.

Une proposition d’accès : la représentation

Précision sur dessin, schématisation et modélisation

Le dessin d’un enfant lui permet de donner à voir les éléments qu’il prend en compte dans une situation. Ils sont le plus souvent assez réalistes et juxtaposés. Ils donnent à voir les éléments pris en compte par l’enfant . Le jeune enfant accorde de l’importance aux détails qui apportent  pour lui une crédibilité à sa représentation. Il a tendance à vouloir situer ce qu’il perçoit ou qu’il pense important dans le réel. Il perd alors souvent le lien avec l’important de la situation. C’est en l’écoutant parler de ce qu’il a dessiné qu’on peut comprendre les mises en relation que l’enfant voulait faire ou qu’il a oublié de dessiner.

 La schématisation  relève de la capacité à ne plus accorder autant d’importance à la réalité. Le schéma garde l’essentiel de ce qui est à comprendre dans une situation et met en avant les éléments importants sous des formes approximatives voire très simples , qui peuvent sembler  simplistes mais qui centrent l’essentiel et donnent à voir des mises en relation. Pouvoir schématiser c’est raisonner avec des éléments qui deviennent compris non plus comme des éléments particuliers mais comme des éléments qui généralisent  dans cette situation. Le lien entre le Tout et les parties est souvent d’un accès facile pour exprimer la compréhension d’une situation. Le schéma peut se comprendre et s’utiliser et se construire, en fonction de la difficulté de la situation, dès le CP, parce que  l’enfant commence à accorder aux signes une valeur différente de celle de la représentation de la réalité.

La modélisation relève de la capacité à générer des classements et de construire une représentation qui généralise l’essentiel de ce qui est important pour comprendre toutes les situations du même genre. Elle offre un modèle de référence qui peut s’appliquer sur des situations différentes mais dont on a compris qu’elles sont organisées de la même façon. Elle fait passer du particulier au général . Le schéma devient alors perçu comme un des scénarios de la modélisation. Les enfants ont du mal à comprendre la modélisation avant le CM. Ils n’ont pas encore la capacité de comprendre une généralisation abstraite . La modélisation suppose un classement de situations. Il y a nécessité de pouvoir comprendre les bases de ce classement, qui se réalise sur une vision globale des situations. Cette modélisation peut  être présentée et explicitée pour servir de repères et obliger les élèves à prendre en compte autre chose sur l’énoncé.

Schématisation, modélisation en fonction du niveau de compréhension

On voit que ces situations problèmes ne sont pas du même ordre et qu’elles ne mettent pas en jeu le même type de compréhension. Les opérations qui vont être utilisées ne seront que les outils qui exprimeront ce que l’enfant pense qu’il faut « faire ». Pour savoir ce qu’il a compris on peut lui demander de dessiner ce qu’il a compris. Cela permettra de voir ce que l’enfant prend en compte et comment il relie les données. C’est en écoutant ce qu’il va en dire qu’on pourra comprendre ce qu’il relie vraiment et pourquoi. Le dessin ne traduit pas forcément toutes les étapes, tous les états et toutes les mises en lien.

Les enfants peuvent apprendre à schématiser des situations. Cela les oblige à se décentrer des perceptions et de l’affect pour construire une représentation qui déroule le fil de la compréhension et non celui de la perception dans le réel.

Pour aider les enfants à prendre du recul avec les situations problèmes on peut aussi les habituer à les considérer comme des situations qui peuvent être classées et modélisées. Il y a donc une réflexion à mener non plus sur les données de la situation mais sur ce que cette situation met en jeu. Les enfants prendront l’habitude de ne plus se focaliser sur la perception des données mais sur une vision globale de la situation.

Les situations de groupes sont les plus faciles à schématiser. Un Tout est composé de parties. Ce qui peut changer le schéma  c’est le nombre de parties . Ce qu’il y a à comprendre c’est de voir si ces parties sont réunies ou séparées et pourquoi. La schématisation fait apparaitre la place de l’inconnue : le Tout ou une de ses parties.

Les situations de changement demandent plus de mobilité. Il faut schématiser des étapes :  l’état initial, l’état final et la nature du changement. Quand ce changement est facilement perceptible : une diminution, une augmentation et qu’il n’y a qu’une étape dans la situation, le modèle reste facilement accessible. Il sera plus difficile à comprendre si la situation comporte plusieurs étapes, plusieurs changements ou si les changements sont de nature complexe.

En CM, la modélisation peut aider à faire apparaitre des états différents et la nature du changement. Une flèche temporelle permet de comprendre comment la situation se déroule en fonction du changement. Elle peut compléter le schéma réalisé par les enfants pour comprendre les liens entre les Touts et les parties en jeu dans la situation.

Les situations de comparaison sont souvent les plus difficiles à comprendre parce qu’elles mettent en jeu prioritairement  la compréhension d’une mise en relation abstraite, extérieure à la situation. La schématisation suppose de pouvoir prendre en compte des possibles différents . La modélisation de cette mise en relation devient l’enjeu de la compréhension de la situation et de son classement. Le modèle doit faire apparaitre cette mise en relation comme centrale. Elle apparait le plus souvent comme un segment de droite, fléché aux deux extrémités, qui situe un écart, une différence .

La nécessité de repères

On peut imaginer que les schémas soient construits un par un devant les enfants en nommant  simplement à chaque fois comment les liaisons sont réalisées dans les différentes situations. Il s’agit donc de faire comprendre aux enfants que ces schémas  permettent de comprendre les situations et qu’on peut s’y référer à chaque fois. On les construit un par un au fur et à mesure des problèmes rencontrés et des capacités des élèves.

En CP la schématisation portera essentiellement sur des situations de groupe. Relier le Tout et les parties au niveau des éléments de la situation et au niveau de la mise en relations des nombres est déjà compliqué  parce que l’organisation du système numérique n’est pas en place. Et cette schématisation sur le lien entre le Tout et les parties sera la base de la compréhension de toutes les autres situations. La modélisation des autres situations est trop complexe parce qu’elle demande la distinction de classes de problèmes.

En CE la modélisation sur  les situations de changement  peut prendre  sens car l’enfant peut situer des évènements chronologiques et les mises  en relation abstraites qui en parlent au niveau numérique. On peut alors opposer deux classes de situation : les situations descriptives et celles ou un changement se produit. Les enfants peuvent se référer prioritairement aux shémas des liens entre le Tout et les parties.

En CM la schématisation sur la comparaison est particulièrement intéressante parce qu’elle aide à situer tout ce qui relève de la proportion : le système décimal, les mesures, les fractions, la division.

Cela ne veut pas dire qu’on ne peut pas travailler toutes les situations dans tous les niveaux d’âge.

« Jacques a 7 ans . Pierre a trois ans de plus que lui . Quel âge a Pierre ? »

Cette situation de comparaison peut être travaillée au CP . Mais sa schématisation se réalisera plus facilement avec un lien sur un Tout et des parties numériques.  Une  partie  numérique qui fait 7 . Une autre partie qui fait 3 . Et l’ajout de ces deux parties fera 10. On n’est plus alors dans une schématisation qui fait appel à une classification de problèmes.

Conclusion

Il ne s’agit pas d’attendre ou de penser le monde de demain. Il s’agit de penser le monde d’aujourd’hui pour que le monde de demain ne soit pas trop difficile d’accès. Il s’agit d’exercer la pensée dès le plus jeune âge. D’apprendre à voir des Touts et des parties, de partir des perceptions pour voir, comprendre, imaginer. D’exercer la réversibilité de la pensée pour construire des points de vue qui prennent en compte le présent, le passé, le futur ; le réel ; les relations qui permettent de s’abstraire du monde pour concevoir des possibles. Il s’agit d’apprendre à problématiser et non de subir la pensée unique , à concevoir et non à mémoriser, à débattre et non à écouter ce qui est prescrit . Comprendre comment on peut classer les situations problèmes suppose de prendre de la distance avec les contenus informatifs numériques pour donner de l’importance à ce qui organise la recherche. C’est donc donner une place à un développement de la pensée qui est analysé .

Permettre aux enfants de développer leur pensée c’est leur donner la possibilité de problématiser le réel, de comprendre le monde, de comprendre les autres, de ne pas rester situé dans le particulier, les affects, les croyances, les prescriptions. C’est leur apprendre à se libérer de ce qui vient de l’extérieur pour construire un esprit libre. C’est leur permettre de s’émanciper et de pouvoir prétendre participer à la construction d’un autre monde .Il est de la responsabilité de l’enseignant de se former pour comprendre comment les situations problèmes peuvent être proposées, vécues, analysées et résolues à partir des possibilités de développement de la pensée de tous les élèves. On pourrait imaginer que la formation des enseignants pourrait contribuer à cette possibilité du développement de la pensée , pour les enseignants et pour les élèves….

 » L’accès à la pensée problématique , comme aspect éminent de la culture, constitue un enjeu non seulement intellectuel, épistémologique, mais aussi politique… en traçant une voie privilégiée vers l’émancipation individuelle et collective. » Citation extraite du Dictionnaire de la Pédagogie Freinet, page 291, dans la rubrique Problématisation.

La pédagogie Freinet se construit dans l’échange de points de vue , dans l’échange et la coopération avec une visée émancipatrice basée sur de l’explicite, en lien avec la vie et l’éthique ….

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Voir le contenu des valises par niveau PS au CM

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J’en profite pour vous rappeler un livre que nous avons écrit à 10 enseignants du groupe Freinet 44,  qui donne à voir nos parcours, nos questionnements, nos doutes et nos différences

Ce livre s’appelle: Ouvrons des pistes, itinéraire de 10 enseignants Freinet,  Edition du Centre du Travail.

Voir l’article: deux livres pour toi qui débutes en Pédagogie Freinet

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